Giải bài tập trang 27 bài ôn tập chương III SGK Toán 9 tập 2. Câu 40: Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được…
Bài 40 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{3 \over 2}x – y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} – 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải
a) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
2{\rm{x}} + 5y = 2(1) \hfill \cr
{2 \over 5}x + y = 1(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2{\rm{x}} + 5y = 2(1′) \hfill \cr
– 2{\rm{x}} – 5y = – 5(2′) \hfill \cr} \right.\)
Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được: \(0x + 0y = -3\)
Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Minh họa hình học kết quả tìm được:
– Vẽ đồ thị hàm số \(2x + 5y = 2\).
Cho \(y = 0 ⇒ x = 1\). Ta xác định được điểm \(A(1; 0)\)
Cho \(y = 1 ⇒ x = -1,5\). Ta xác định được điểm \(B(-1,5; 1)\).
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B
-Vẽ đồ thị hàm số \({2 \over 5}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\)
Cho \(x = 0 ⇒ y = 1\). Ta xác định được điểm \(C(0; 1)\)
Cho \(y = 2 ⇒ x = -2,5\). Ta xác định được điểm \(D(-2,5; 2)\)
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.
Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.
b) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3(1) \hfill \cr
3{\rm{x}} + y = 5(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2{\rm{x}} – y = – 3(1′) \hfill \cr
3{\rm{x}} + y = 5(2′) \hfill \cr} \right.\)
Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được \(x = 2\)
Thế \(x = 2\) vào (2), ta được: \(6 + y = 5 ⇔ y = -1\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x = 2; y = -1)\)
Minh họa hình học:
– Đồ thị hàm số \(0,2x + 0,1y = 0,3\) là một đường thẳng đi qua hai điểm:
\(A(x = 0; y = 3)\) và \(B(x = 1,5; y = 0)\)
– Đồ thị hàm số \(3x + y = 5\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \(C(x = 0; y = 5)\) và \(D(x = 1; y = 2)\)
– Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: \(M(x = 2; y = -1)\).
Vậy \((2; -1)\) là một nghiệm của hệ phương trình.
c) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
{3 \over 2}x – y = {1 \over 2}(1) \hfill \cr
3{\rm{x}} – 2y = 1(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 3{\rm{x}} + 2y = – 1(1′) \hfill \cr
3{\rm{x}} – 2y = 1(2′) \hfill \cr} \right.\)
Cộng (1’) và (2’) vế theo vế, ta có: \(0x + 0y = 0\).
Phương trình này có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát là \(\left( {x;{3 \over 2}x – {1 \over 2}} \right)\) với \(x ∈ R\)
Minh họa hình học
– Đồ thị hàm số (1) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; – {1 \over 2})\) và \(B(1;1)\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.
Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 – \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = – 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr
\left( {1 – \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\)
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ (1) ta có \(x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\)
Thế (3) vào (2), ta được:
\(\eqalign{
& \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 – \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr
& \Leftrightarrow – 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 – 1 \Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 – 1} \over 3} \cr} \)
Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:
\(x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 – 1} \over 3}} \right) + 1} \over {\sqrt 5 }}\) hay \(x = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 – 1} \over 3}} \right)\)
b)Giải hệ phương trình: (I)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = – 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Đặt \(u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\)
Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là \(u\) và \(v\) ta được:
\(\left\{ \matrix{
2u + v = \sqrt 2 (1′) \hfill \cr
u + 3v = – 1(2′) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr
– 2u – 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\)
Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: \( – 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ – \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\)
Thay \(v = {{ – \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được:
\(2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\)
\(\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\)
Với giá trị của \(u,v\) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \(x, y\).
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr
{y \over {y + 1}} = {{ – 2 – \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{
x \ne – 1 \hfill \cr
y \ne – 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr
y = \left( {y + 1} \right){{\left( { – 2 – \sqrt 2 } \right)} \over 5} \hfill \cr} \right.\)
\(\left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr
5y = \left( {y + 1} \right)\left( { – 2 – \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 – 3\sqrt 2 }} \hfill \cr
y = {{-2 – \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 – 3\sqrt 2 }};{{-2 – \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right)\) thỏa mãn điều kiện
Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} – y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} – {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = -\sqrt{2}\) b) \(m = \sqrt{2}\) c) \(m = 1\)
Giải:
(I) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} – y = m(1) \hfill \cr 4{\rm{x}} – {m^2}y = 2\sqrt 2 (2) \hfill \cr} \right.\)
Ta có (1) ⇔ \(y = 2x – m\) (3)
Thế (3) vào (2), ta có:
\(4{\rm{x}} – {m^2}\left( {2{\rm{x}} – m} \right) = 2\sqrt 2\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {2 – {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2 – {m^3}(*)\)
a) Với \(m = – \sqrt{2}\). Thế vào phương trình (*), ta được:
\(2(2 – 2)x = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 4\sqrt{2}\)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Với \(m = \sqrt{2}\). Thế vào phương trình (*), ta được:
\(2(2 – 2)x = 2\sqrt{2} – 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 0\)
Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.
c) Với \(m = 1\). Thế vào phương trình (*), ta được:
\(2.(2-1)x = 2\sqrt 2 – 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = 2\sqrt 2 – 1\)
\(\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 2 – 1} \over 2}\)
Thay \(x\) vừa tìm được vào (3), ta có: \(y = 2\sqrt{2} – 2\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: \(\left( {{{2\sqrt 2 – 1} \over 2};2\sqrt 2 – 2} \right)\)
Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Bài 43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Giải:
Gọi \(x\) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ A và \(y\) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ B.
Điều kiện: \(x > 0; y > 0\)
– Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét.
Ta có phương trình: \({{2000} \over x} = {{1600} \over y}(1)\)
– Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m.
Ta có phương trình \({{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}(2)\)
Ta có hệ phương trình: (I) \(\left\{ \matrix{{{2000} \over x} = {{1600} \over y}(1) \hfill \cr {{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}(2) \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(u = {{100} \over x}\) và \(v = {{100} \over y}\) . Thay vào (I), ta được:
\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{20u = 16v \hfill \cr 18u + 6 = 18v \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình ta được \(u = {4 \over 3}\) và \(v = {5 \over 3}\)
– Với \({{100} \over x} = u = {4 \over 3} \Leftrightarrow x = 75\) (nhận)
– Với \({{100} \over y} = v = {5 \over 3} \Leftrightarrow y = 60\) (nhận)
Vậy vận tốc của người đi từ A là 75m/phút và người đi từ B là 60m/phút.
Trường Cao đẳng nghề Thừa Thiên Huế
