Giải bài tập trang 56, 57 bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai SGK Toán 9 tập 2. Câu 38: Giải các phương trình…
Bài 38 trang 56 sgk Toán 9 tập 2
Bài 38. Giải các phương trình:
a) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\);
b) \({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)\);
c) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x({x^2} + {\rm{ }}1,5)\);
d) \(\frac{x(x – 7)}{3} – 1\) = \(\frac{x}{2}\) – \(\frac{x-4}{3}\);
e) \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = \(1 – \frac{1}{3-x}\);
f) \(\frac{2x}{x+1}\) = \(\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)
Bài giải:
a) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Delta = 25{\rm{ – }}16 = 9,{x_1} = – 2,{x_2} = – {1 \over 2}\)
b) \({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)
\({\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Delta’ = 16 + 22 = 38,{x_1} = {\rm{ }}{{ – 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ – 4 – \sqrt {38} } \over 2}\)
c) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x({x^2} + {\rm{ }}1,5)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}1,5x\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}2,5{x^2}-{\rm{ }}1,5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
\({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}-{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }} – 31{\rm{ }}
Phương trình vô nghiệm
d) \(\frac{x(x – 7)}{3}– 1\) = \(\frac{x}{2}\) – \(\frac{x-4}{3}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}14x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}15x{\rm{ }}-{\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0;\)
\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}225{\rm{ }} + {\rm{ }}112{\rm{ }} = {\rm{ }}337\)
\({x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {\rm{ }}{{15 – \sqrt {337} } \over 4}\)
e) \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = 1 – \(\frac{1}{3-x}\). Điều kiện: \(x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm 3\)
Phương trình được viết lại: \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = \(1 + \frac{1}{x- 3}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3 \)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\),
\({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}81\)
Nên \({x_1} = {{ – 1 – 9} \over 2} = – 5;{x_2} = {{ – 1 + 9} \over 2} = 4\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = {\rm{ }} – 5,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\).
f) \(\frac{2x}{x+1}\) = \(\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 4\)
Phương trình tương đương với:
\(2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0\) nên \({x_1} = – 1,{x_2} = 8\)
Vì \({x_1} = – 1\)không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là \(x = 8\).
Bài 39 trang 57 sgk Toán 9 tập 2
Bài 39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a) \((3{x^{2}} – {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \({x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
c) \(({x^{2}} – {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\);
d) \({({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}\).
Bài giải.
a) \((3{x^{2}} – {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[ \matrix{
(3{x^{2}} – {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10){\rm{ }} = {\rm{ }}0(1) \hfill \cr
2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + \sqrt 5 -{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.\)
Giải (1): phương trình \(a – b + c = 3 + 7 – 10 = 0\)
nên \({x_1} = – 1,{x_2} = – {{ – 10} \over 3} = {{10} \over 3}\)
Giải (2): phương trình có \(a + b + c = 2 + (1 – \sqrt{5}) + \sqrt{5} – 3 = 0\)
nên \({x_3} = 1,{x_4} = {{\sqrt 5 – 3} \over 2}\)
b) \({x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {x^2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)({x^2} – {\rm{ }}2){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[ \matrix{
x + 3 = 0 \hfill \cr
{x^2} – {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\)
Giải ra \({x_1} = {\rm{ }} – 3,{\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }} – \sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_{3}} = \sqrt 2 \)
c) \(({x^{2}} – {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
0,6x + 1 = 0(1) \hfill \cr
{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.\)
(1) ⇔ \(0,6x + 1 = 0 \)
\( \Leftrightarrow {x_1} = – {1 \over {0,6}} = – {5 \over 3}\)
(2):\(\Delta = {( – 1)^2} – 4.1.( – 1) = 1 + 4 = 5,\sqrt \Delta = \sqrt 5,\)
\({x_2} = {\rm{ }}{{1 – \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\)
Vậy phương trình có ba nghiệm:
\({x_1} = – {5 \over 3},{x_2} = {{1 – \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\),
d) \({({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} – {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow ({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5).\)
\(({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} – {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} – {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}(2{x^2} + {\rm{ }}x)\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
⇔\( x(2x + 1)(3x – 10) = 0\)
Hoặc \(x = 0\), \(x = -\frac{1}{2}\) , \(x = \frac{10}{3}\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
$$ \Leftrightarrow {x_1} = – {1 \over {0,6}} = – {5 \over 3}$$
Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2
Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
c) \(x – \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\);
d) \(\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\)
Hướng dẫn: a) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có phương trình \(3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \(t\). Thay mỗi giá trị của \(t\) vừa tìm được vào đằng thức \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\) , ta được một phương trình của ẩn \(x\). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \(x\).
d) Đặt \(\frac{x+1}{x} = t\) hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)
Bài giải:
a) \(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có:
\(3{t^2}{\rm{ – }}2t{\rm{ – }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} = – {1 \over 3}\)
Với \({t_1} = 1\), ta có: \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\) hay \({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{ = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta = \sqrt 5 \)
\({x_1} = {{ – 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ – 1 – \sqrt 5 } \over 2}\)
Với \({t_2}= -\frac{1}{3}\), ta có: \({x^2} + x = – {1 \over 3}\)hay \(3{x^2} + 3x{\rm{ + }}1{\rm{ = }}0\):
Phương trình vô nghiệm, vì \(\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = {{ – 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ – 1 – \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\), ta có phương trình \({t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Giải ra ta được \({t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} – 3\).
– Với \({t_1}= 2\) ta có: \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) hay \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra \({x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\).
– Với \({t_2}= -3\), ta có: \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} – 3\) hay \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).
Phương trình này vô nghiệm vì \(\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = 0, {x_2}= 4\).
c) \(x – \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\). Điều kiện: \(x ≥ 0\). Đặt \(t = \sqrt{x}, t ≥ 0\)
Ta có:\({t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra: \({t_1}= -1\) (loại), \({t_2}= 7\)
Với \(t = 7\), ta có: \(\sqrt{x} = 7\). Suy ra \(x = 49\).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: \(x = 49\)
d) \(\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 0\)
Đặt \(\frac{x}{x+ 1}\) = t, ta có: \(\frac{x+1}{x}\) = \(\frac{1}{t}\). Vậy ta có phương trình: \(t – \frac{10}{t} – 3 = 0\)
hay: \({t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra \({t_1} = 5, {t_2} = -2\).
– Với \({t_1}= 5\), ta có \(\frac{x}{x+ 1} = 5\) hay \(x = 5x + 5\). Suy ra \(x = -\frac{5}{4}\)
– Với \({t_2} = -2\), ta có \(\frac{x}{x+ 1}= -2\) hay \(x = -2x – 2\). Suy ra \(x = -\frac{2}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1}= -\frac{5}{4}\), \({x_2} =-\frac{2}{3}\)
cdnthuathienhue.edu.vn
